Fechem os olhos e imaginem...: A Ilha do Conhecimento (uma perspetiva da aprendizagem)

"Consideremos, então, a soma total do nosso conhecimento acumulado como formando uma ilha, que designo por <<Ilha do Conhecimento>>. Por <<conhecimento>> entendo sobretudo o conhecimento científico e tecnológico, embora a Ilha também pudesse incluir todas as criações culturais e artísticas da Humanidade. Essa ilha está rodeada por um vasto oceano, o oceano inexplorado do desconhecido, que oculta inúmeros mistérios fascinantes. Mais adiante veremos se esse oceano se prolonga até ao infinito. Para já, basta imaginarmos que a Ilha do Conhecimento cresce, à medida que vamos descobrindo mais sobre o mundo e sobre nós próprios. Este crescimento segue, com frequência, um caminho muito incerto; a linha da costa delineia a fronteira irregular entre o conhecido e o desconhecido. Na verdade, esse crescimento pode, por vezes, retroceder quando as ideias antes aceites são abandonadas à luz de novas descobertas.
O crescimento da Ilha tem uma consequência surpreendente mas essencial. Ingenuamente, esperaríamos que, quanto mais conhecêssemos o mundo, mais perto nos encontraríamos de uma espécie de destino final, a que alguns chamam uma Teoria de Tudo e outros <<natureza última da realidade>>. No entanto, retomando a nossa metáfora, vemos que, à medida que a Ilha do Conhecimento cresce, o mesmo se passa com as margens da nossa ignorância, a fronteira entre o conhecido e o desconhecido: saber mais acerca do mundo não se aproxima minimamente de um destino final - cuja existência não passa de qualquer modo, de uma suposição esperançosa - levando-nos antes a mais perguntas e mistérios. Quanto mais sabemos, mais expostos ficamos à nossa ignorância e mais perguntas sabemos fazer."         
                                                                            Marcelo Gleiser em "A Ilha do Conhecimento"

Pitágoras

Pitágoras

 

Pitágoras fundou uma escola com fins políticos, religiosos e filosóficos, quando tinha perto de 50 anos de idade.

Os pitagóricos concentravam-se sobre quatro temas: a Aritmética, a Música, a Geometria e a Astronomia. Estes quatro mathemata deram mais tarde origem ao quadrivium medieval. A aritmética tratava o estudo dos números naturais, suas classificações e propriedades. A Música abordava as relações entre os números, a Astronomia estava para a Geometria um pouco como a Música estava para a Aritmética: enquanto uma estuda relações entre objetos, a outra dedica-se aos objetos em si. Após três anos em que somente podiam ouvir as lições do mestre através de uma cortina, os iniciados eram aceites no núcleo da sociedade.

Esta sociedade mística cumpria alguns ritos estranhos aos nossos olhos. Por exemplo, não podiam apanhar objetos que caíssem ao chão, não podiam comer feijão, e a razão para o vegetarianismo prendia-se com a crença na transmigração das almas humanas para animais. Conta-se que, um dia, Pitágoras, vendo um cão a ser espancado, interveio e disse ao agressor: “Pára! Nesse animal vive a alma de um amigo meu. Reconheço-o pela voz.”

O símbolo que utilizavam para se reconhecerem era o pentagrama. De acordo com os preceitos desta organização semissecreta, todas as suas descobertas eram atribuídas a Pitágoras. Não podemos distinguir entre eles e os seus discípulos nesta matéria. Além disso, Pitágoras não deixou textos escritos e o voto de segredo a que os discípulos estavam sujeitos tornam a autoria dos resultados difícil de estabelecer. Assim, quando escrevemos sobre Pitágoras, podemos estar a referir-nos a algum outro protagonista desconhecido da sua agremiação.

Sobre a morte de Pitágoras também não há certezas, mas conta-se que os pitagóricos se tornaram politicamente muito poderosos e que uma revolta popular, por volta de 500 a.c. incendiou a respetiva sede, matando muitos. Entre eles estaria o próprio Pitágoras.

A grande diferença entre os pitagóricos e outras agremiações reside na apologia do saber, da Matemática em particular. A ideia de que a natureza se lê e compreende com a mediação da Matemática é pitagórica, “tudo é número” é a expressão atribuída a Pitágoras.         

O nome de Pitágoras estará para sempre associado ao teorema a que deu o nome. Todos aprendemos na escola que:

Um dia em Siracusa

Disse Pitágoras aos netos:

“O quadrado da hipotenusa

É igual à soma dos quadrados dos catetos”.

Um triângulo diz-se retângulo se um dos seus lados medir 90°, isto é, se for reto. Num tri6angulo retângulo os lados menores chamam-se catetos e o maior chama-se hipotenusa. Este teorema diz que se as medidas dos lados de um triângulo retângulo forem a, b e c então a²+b²=c² . Se três números satisfazem esta relação, dizemos que formam um triplo pitagórico.

Ora, triângulos retângulos, nomeadamente os de dimensões 3,4,5 já eram utilizados no Egito havia muito tempo, para traçar ângulos retos. Uma corda, com nós igualmente espaçados, quando esticada formando um ângulo, de tal forma que os lados do triangulo correspondente medissem 3,4 e 5 espaços entre nós, garantia que o ângulo entre os lados menores era reto. 

Os babilónios já conheciam os triplos pitagóricos inscritos em placas de barro datadas de mil anos antes de Pitágoras.

Texto adaptado de Coleção Jogos com história

TALES – GRÉCIA ANTIGA

TALES – GRÉCIA ANTIGA

 

Tales, caminhando absorto em observações astronómicas, caiu num poço. Uma mulher, que lhe valeu, riu-se e criticou: “Como pode o sábio saber o que fazem as estrelas e desconhecer o chão que pisa?”

Ainda hoje esta imagem ilustra o comportamento dos estudiosos que se concentram excessivamente nas suas matérias.

 

Todos aprendemos na escola o célebre Teorema de Tales, que diz respeito a uma proporcionalidade de comprimentos de segmentos, quando duas retas concorrentes são cortadas por duas retas paralelas.

Outros resultados há cuja paternidade é atribuída a Tales. Alguns são tao evidentes, que não parecem teoremas, como o que diz que todo o círculo é bissetado (isto é, dividido em duas partes iguais) por qualquer diâmetro.

Outros teoremas são mais sofisticados, como o que garante que todo o ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

A Tales atribui-se também a medição da altura de uma pirâmide egípcia, mediante o uso de uma pequena estaca. Colocando a estaca verticalmente no chão Tales sabia que, à medida que o movimento do sol vai projetando sombras de comprimentos diferentes, há uma altura, fácil de determinar, em que a sombra mede tanto como a própria estaca. Basta neste momento medir a sombra da pirâmide. Este método funciona, já que o grande afastamento do sol nos permite assumir que os seus raios são paralelos.

Usando um conceito relacionado, também estudado nas nossas escolas, as semelhanças de triângulos, Tales obteve um método de estimar a distância a que um barco no mar se encontra da costa. Conta-se também que previu a data de um eclipse lunar, o que leva a crer que havia estudado seriamente os textos babilônicos.

 

Texto adaptado de Coleção Jogos com história

Representar um ponto dadas as suas coordenadas

Num referencial cartesiano, a cada ponto do plano corresponde um par ordenado (x,y), a que chamamos coordenadas do ponto, sendo x a abcissa do ponto e y a ordenada do ponto. Para ler as coordenadas de um ponto B, traçam-se paralelas aos eixos coordenados, partindo de B até encontrar o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, B(-2,3). Para representar um ponto, por exemplo, A(3,-2) marca-se o ponto de abcissa 3 no eixo das abcissas (eixo Ox) e o ponto de ordenada -2 no eixo das ordenadas (eixo Oy). A partir destes pontos traçam-se retas a tracejado paralelas aos eixos, sendo o ponto de interceção destas retas paralelas o ponto que queremos representar.

Referencial Cartesiano

Referencial cartesiano: É um sistema de dois eixos perpendiculares, com a mesma origem O. A unidade de comprimento pode ser diferente nos dois eixos. Quando a unidade nos dois eixos é a mesma, chama-se referencial monométrico ou eixo ortonormado. Ao eixo horizontal chama-se o eixo das abcissas (eixo Ox). Ao eixo vertical chama-se o eixo das ordenadas (eixo oy). Os eixos Ox e Oy chamam-se eixos coordenados.

Reta Real

Uma reta orientada onde se ficam dois pontos, um associado ao número zero e outro associado ao número 1 diz-se um eixo. A cada número corresponde um ponto. Ao número chama-se abcissa do ponto. Ao ponto O chama-se origem do eixo. O segmento [OA] é  a unidade de comprimento escolhida. Estabelece-se assim uma correspondencia entre os números e os pontos da reta. A cada número real corresponde um número da reta. Ao eixo dá-se o nome de reta real.

Regras para resolver equações de primeiro grau

Uma equação é fogo para se resolver
É igualdade difícil e de grande porte
É necessário saber todas as regras
E até ter uma boa dose de sorte

A primeira coisa a ter em conta
Quando se olha uma equação
É ver se tem parênteses
É que umas têm e outras não

Se tiver, é por ai que tudo deve começar
Sinal "+" antes: fica tudo igual.
Mas tudo o que vem a seguir se deve trocar
Se antes do parênteses o "-" for o sinal.

A seguir... alerta com os denominadores
Todos têm que ter o mesmo para se poder avançar
Os sinais negativos antes de frações
São degraus onde podemos tropeçar.

É preciso não esquecer nenhum sinal
E estar atento ao coeficiente maroto
E se um termo não interessa de um lado
Muda-se o sinal e passa-se para o outro.

Quando a incógnita estiver sozinha
Podemos dar a tarefa por finda,
E sem esquecer o que foi feito
Escreve-se o conjunto solução.

A medida da muralha granítica - uma aplicação do Teorema dos triângulos semelhantes

O Sol (...) anunciou um tempo magnífico. Iam portanto (...) medir a altura, acima do nível do mar, do planalto da Grande Vista.
O engenheiro Cyrus Smith tinha-se munido de uma espécie de estaca retilínea, com o comprimento de uns 12 pés, que ele tinha medido tão exatamente quanto possível. Harbert trazia um fio de prumo que lhe tinha entregue Cyrus Smith, quer dizer, uma simples pera fixada na extremidade de um fio fexível.
Chegado a uma vintena de pés do bordo do cascalho, e a cerca de 500 pés da muralha de granito, que se elevava perpendicularmente ao solo, Cyrus Smith espetou a estaca cerca de dois pés na areia e conseguiu, por meio do fio de prumo, colocá-la perpendicularmente ao plano do horizonte.
Feito isso, recuou a distância necessária para que o raio visual, partindo do seu olho, passasse também pelo topo da vara e pelo cimo do planalto da Grande Vista. Depois marcou cuidadosamente este ponto com uma pequena estaca.
Dirigiu-se então a Harbert:
- Conheces os primeiros princípios da Geometria?
- Um pouco, senhor Cyrus - respondeu Harbert.
- E lembras-te bem quais são as propriedades de dois triângulos semelhantes?
- Sim - respondeu Harbert. Os seus lados homólogos são proporcionais.

- Pois bem, meu rapaz, acabo de construir dois triângulos semelhantes, ambos retângulos: o primeiro, o mais pequeno, tem por lados a vara perpendicular, a distância que separa a pequena estaca da vara, e o meu raio visual como hipotenusa; o segundo tem por lado a muralha perpendicular, cuja altura pretendemos medir, a distancia que separa a pequena estaca da base desta muralha, e o meu raio visual forma igualmente a sua hipotenusa, que até é o prolongamento da hipotenusa do primeiro triângulo.
- Ah, senhor Cyrus, compreendi! Assim, como a distância da estaca à vara é proporcional à distância da vara à base da falésia, do mesmo modo a altura da vara é proporcional à altura dessa falésia.
- É isso mesmo Herbert. E quando nós tivermos medido as duas primeiras distâncias, conhecida a altura da vara, nós teremos um cálculo de proporções a fazer, o que nos dará a altura da muralha e nos evitará o trabalho de a medir diretamente.
As duas distâncias horizontais foram medidas com o auxilio da vara, cujo comprimento acima da areia era exatamente 10 pés.
A primeira distância era de 15 pés entre a estaca e o ponto onde a vara estava espetada no solo. A segunda distância, entre a vara e a base da muralha, era de 500 pés.
Depois o engenheiro pegou uma pedra lisa, uma espécie de ardósia de xisto, onde era fácil escrever números por meio de uma concha aguçada. Estabeleceu a seguinte proporção:

Ficou então estabelecido que a falésia media 333 pés de altura.

3º Esmo - Musica da tabela trigonométrica (trigonometria)

A zona criativa da matemática

Gostar de matemática pode ser contagiante, sobretudo à medida que a aprofundamos e que a compreendemos. Às vezes torna-se viciante. Mas como poderemos gostar de uma disciplina que reconhecidamente se tornou, ao longo do tempo, um problema para a grande maioria dos alunos? Talvez compreendendo a sua essência que é afinal onde tudo começa. Talvez até nos apaixonemos…

Por esse motivo, o meu trabalho tem vindo a emergir na tentativa de promover uma abordagem à matemática, revelando que a disciplina é um universo de novidades e descobertas.

As experiências profissionais que nos são proporcionadas ao longo da vida servem não somente para transmitir conhecimento aos alunos, mas também para aprendermos, evoluindo no nosso conhecimento profissional e sentido pedagógico. Talvez esteja na matemática o zénite desses conhecimentos e da sua aplicação; talvez assim possamos alterar o desempenho dos nossos alunos melhorando o seu empenho na disciplina.

As dificuldades que diariamente enfrentamos quando lecionamos a disciplina de matemática colocam-nos um desafio que (quantas vezes) vai para além da aula e vive connosco um quotidiano de ansiedade. A maioria dos alunos sempre que enfrentam um problema de carácter mais abstrato, deixam-nos perguntas pertinentes, que também colocamos a nós próprios. Uma delas, quiçá a de maior simplicidade e que pairará no espírito de muitos alunos e professores: Porque é tao difícil ensinar e aprender matemática?

É certo que, também nós, quando nos iniciámos no universo que é a matemática, deparámos com dificuldades quantas vezes acrescidas. As recordações das aprendizagens neste vasto universo ainda hoje perduram, reforçando que trabalhar apenas situações concretas é muito limitador, pois é no raciocínio abstrato, para além do cálculo numérico, que tudo começa: É a zona criativa da matemática.

Talvez assim seja possível alimentar o espirito dos alunos, que connosco vão evoluindo no dia a dia, com a importância acrescida de certas tarefas porque proporcionadoras de mais-valias no seu conhecimento e promotoras de maior interesse pela própria disciplina, proporcionando-lhes em concomitância um maior rendimento.

Julgamos que “espicaçar a alma questionadora” que se encontra em cada aluno poderá ser o cerne do processo de aprendizagem, já que, a cada espaço de novidade emergem novos espíritos inovadores e criativos.

A motivação em matemática é uma questão complexa. Numa era em que a disciplina é encarada pelos alunos não como a ciência das ciências, mas a disciplina que os derrubará, a sua desmotivação é patente e reflete-se nos resultados das avaliações tal como no comportamento em sala de aula.

O novo programa do Ensino Secundário de Matemática A atribui um novo relevo às demonstrações matemáticas e ao raciocínio dedutivo. O cálculo numérico e a filosofia das operações não são suficientes para que os alunos mergulhem neste maravilhoso universo de lógica e raciocínio.